✎ Déterminer le sens de variation d'une suite

Méthode
Pour déterminer le sens de variation d'une suite, on peut : 

• étudier le signe de la différence  \(u_{n+1}-u_n\)  pour tout  \(n\)  entier naturel ; 
• étudier les variations de la fonction  \(f\)  dans le cas où la suite  \((v_n)\)  est définie par une formule explicite  \(v_n=f(n)\)  ; 
  
• comparer le quotient  \(\dfrac{w_{n+1}}{w_n }\) à 1 lorsque  \(w_n\)  est non nulle de signe constant. 
  

Exemple 1  
Soit  \((u_n)\)  la suite définie sur \(\mathbb N\) par  \(u_n=n+\dfrac{1}{n+1}\) .
Pour tout  \(n\)  entier naturel,  \(u_{n+1}-u_n=(n+1)+\dfrac{1}{(n+1)+1}-\left(n+\dfrac{1}{n+1}\right)\) .
\(u_{n+1}-u_n=n+1+\dfrac{1}{n+2}-n-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{(n+1)(n+2)+(n+1)-(n+2)}{(n+2)(n+1)}\) \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{n^2+3n+1}{(n+1)(n+2)}\) .
Or, pour tout réel  \(x\geqslant0\) , le polynôme  \(x^2+3x+1\geqslant0\)  et  \((x+1)(x+2)\geqslant0\) et on en déduit que, pour tout  \(n\)  entier naturel,    \(u_{n+1}-u_n\geqslant0\) .
On conclut que la suite est croissante sur \(\mathbb N\) . 

Exemple 2
Soit  \((v_n)\)  la suite définie par  \(v_n=\sqrt{5n+4}\)  pour tout  \(n\)  entier naturel.
La suite  \((v_n)\)  est définie par une formule explicite \(v_n=f(n)\) avec  \(f:x\mapsto \sqrt{5x+4}\) pour tout \(x\geqslant0\) .
Afin de déterminer les variations de   \((v_n)\) on peut, par exemple, étudier les variations de  \(f\)  à l'aide du signe de sa fonction dérivée. La fonction  \(f\)  est bien dérivable sur  \([0;+\infty[\)  et, pour tout  \(x\in[0;+\infty[\) ,  \(f'(x)=\dfrac{5}{2\sqrt{5x+4}}\geqslant0\) .
La fonction  \(f\)  est strictement croissante sur \([0;+\infty[\) , on conclut que la suite  \((v_n)\)  est croissante sur \(\mathbb N\) . 

Exemple 3
Soit  \((w_n)\)  la suite définie par  \(w_n=\dfrac{3^n}{5^{n+2}}\)  pour tout  \(n\)  entier naturel.
La suite  \((w_n)\)  est strictement positive, on peut donc comparer le quotient  \(\dfrac{w_{n+1}}{w_n }\)  et  \(1\) .
Pour tout  \(n\)  entier naturel,  \(\dfrac{w_{n+1}}{w_n }=\dfrac{\dfrac{3^{n+1}}{5^{n+3}}}{\dfrac{3^n}{5^{n+2}}}=\dfrac{3^{n+1}}{5^{n+3}}\times\dfrac{5^{n+2}}{3^n}=\dfrac{3}{5}<1\) .
Ainsi pour tout  \(n\)  entier naturel,  \(\dfrac{w_{n+1}}{w_n }<1\Leftrightarrow w_{n+1}.    
On conclut que la suite  \((w_n)\)  est décroissante   sur \(\mathbb N\) . .